Đề thi học sinh giỏi lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án Sở GD&ĐT Hải Dương

Giới thiệu

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/04/2013

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Cho hàm số y = x² - 3x + 2 và hàm số y = -x + m. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.

b) Giải bất phương trình: 

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2). Đường thẳng Δ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y - 1 = 0; Khoảng cách từ C đến Δ gấp 3 lần khoảng cách từ B đến Δ. Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng 

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:  ; . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho biểu thức (b²MB² + c²MC² - 2a²MA²) đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: 

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh rằng:

Download tài liệu để xem thêm chi tiết